Question

设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积．

Answer

（1）设椭圆的方程为，有条件求得a 和c，从而求得b，进而得到椭圆的方程．
（2）把直线AB的方程 代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系，求出|y1-y2|的值，利用S△ABF2=+=+ 求得结果．
【解析】
（1）设椭圆的方程为，
由题意，a=2，=，∴c=，b=1，
∴椭圆的方程为 ．
（2）左焦点F1（-，0），右焦点F2（，0），设A（x1，y1 ），
B（x2，y2），
则直线AB的方程为 y=x+．
由 ，消x得 5y2-2y-1=0．∴y1+y2=，y1y2=-，
∴|y1-y2|==．
∴S△ABF2=+=+ 
===．