Question

如图，是函数和y=3x²图象的一部分，其中x=x₁，x₂（-1＜x₁＜0＜x₂）时，两函数值相等．
（1）给出如下两个命题：①当x＜x₁时，；②当x＞x₂时，，试判定命题①②的真假并说明理由；
（2）求证：x₂∈（0，1）．

Answer

（1）命题①是假命题，可以举反例：取x=-10，进行验证即可；命题②是真命题，利用函数在[x2，+∞）上是减函数，函数y=3x2在[x2，+∞）上是增函数，即可证得；
（2）先将函数图象交点范围问题转化为函数，的零点问题，再利用零点存在性定理，判断零点范围即可作出证明．
【解析】
（1）命题①是假命题，可以举反例：取x=-10，则x＜x1，但是，3×（-10）2=300，不成立；
命题②是真命题，∵函数在[x2，+∞）上是减函数，函数y=3x2在[x2，+∞）上是增函数，
∴当x＞x2时，；
（2）构造函数，则f（0）=-1＜0，，
∴f（x）在区间（0，1）内有零点，又∵函数在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在区间（0，1）内的零点唯一，即x2，
∴x2∈（0，1）；