Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3，…）；数列{b_n}中，b₁=1 点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n和为T_n．

Answer

（1）当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得a1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1，得到an与an-1，即可得到数列{an}是等比数列．由点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，可得bn-bn+1+2=0，即bn+1-bn=2，即可得出bn．
（2）由（1）可得：anbn=（2n-1）•2n．利用“错位相减法”即可得出Tn．
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得a1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-（2an-1-2），
化为an=2an-1，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴．
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2上，∴bn-bn+1+2=0，
∴bn+1-bn=2，
∴数列{bn}是以b1=1为首项，2为公差的等差数列．
∴bn=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由（1）可得：anbn=（2n-1）•2n．
∴…+（2n-1）•2n，
2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1，
∴+…+2×2n-（2n-1）•2n+1
=2×（2+22+…+2n）-2-（2n-1）•2n+1
=-2-（2n-1）•2n+1
=2n+2-6-（2n-1）•2n+1
=（3-2n）•2n+1-6，
∴．