Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD⊥底面ABCD
（1）证明：AD⊥BD；
（2）若二面角P-BC-D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（1）利用线面垂直的性质定理证明AD⊥BD．
（2）确定∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．
【解析】
（1）证明：因为AB=2AD=2，BD=，所以AD=BC=1，CD=AB=2，
∴CD2=BC2+BD2，∴BC⊥BD，
∵底面ABCD为平行四边形，
∴AD⊥BD．
而BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）
（2）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD
所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=，
而BD=，所以PD=1…（7分）
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），C（），P（0，0，1）
所以，设平面PBC的法向量，
则，即，可得平面的一个法向量为．
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为．…（12分）