Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n．
（I）求a_n；
（II）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）将an=Sn-Sn-1代入已知等式，展开变形、化简可得2=，证出数列为等差数列，从而，得出Sn的表达式，进而可以求出an；
（II）将（I）中的Sn的表达式代入到bn当中，用裂项相消法可以求出Tn表达式；
（III）用Tn的表达式得出其单调性，将不等式Tn＞（m-8）转化为T1＞（m-8），最后可以求出符合题m的最大值．
【解析】
（I）∵Sn2=an（Sn-）（n≥2）
∴Sn2=（Sn-Sn-1）（Sn-）
∴2SnSn-1=Sn-1-Sn
∴2=…（2分）
又a1=1，=1
∴数列为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分）
∴=1+（n-1）•2=2n-1
∴Sn=．
∴an=…（5分）
（II）bn=）
∴Tn=b1+b2+…+bn=）]
=…（8分）
（III）令T（x）=，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
∴当n=1时Tn=取得最小值．…（10分）
由题意可知，要使得对任意n∈N*，都有Tn＞（m-8）成立，
只要T1＞（m-8）即可．
∴（m-8），解之得m＜
又∵m∈n，∴m=9．…（12分）