Question

设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f=f（m）+f（n），且当x＞1时，．
（1）求f（2）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式．

Answer

（1）利用赋值法，可令m=n=1可求得f（1）=0，再令，可求f（2）的值；
（2）为定义法证明函数的单调性，注意步骤；（3）利用已证的单调性把不等式转化为不等式组求解．
【解析】
（1）对于任意正实数m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）
令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，
又∵
再令，得
∵
（2）令0＜x1＜x2，则
∵当x＞0时，

=
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1
∴f（4）=2f（2）=2
=
∴原不等式可化为，又∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
∴∴
∴x≥6