Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，求证：
（Ⅰ）EF∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PAD⊥平面PDC．

Answer

（I）由E、F分别是PC、PD的中点，可由三角形中位线定理得到EF∥CD，进而根据底面是矩形，对边平行得到EF∥AB，结合线面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，可得PA⊥CD及AD⊥CD，进而由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，进而由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PDC．
证明：（Ⅰ）∵E、F分别是PC、PD的中点，
∴EF∥CD．                    （2分）
∵底面ABCD是矩形，
∴CD∥AB．
∴EF∥AB．                  （4分）
又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
∴EF∥平面PAB．               （7分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD
∴PA⊥CD．                    （8分）
∵底面ABCD是矩形，AD⊥CD．                                                          （10分）
又PA∩AD=A，AP⊂面PAD，AD⊂面PAD，
∴DC⊥平面PAD．                                                   （12分）
∵DC⊂平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．                                                   （14分）