Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₂=3，且点（2ⁿ，S_n）在直线y=kx-1 上．
（1）求k的值，并证明{a_n}是等比数列；
（2）记T_n为数列{S_n}的前n项和，求使T_N＞2010成立的n最小值．

Answer

（1）由题意得，利用S2=3即可得到k的值，进而得到Sn．再利用即可得到an．再利用等比数列的定义即可证明；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出Tn，解出Tn＞2010即可．
【解析】
（1）由题意得，
∵S2=3，∴3=k•22-1，解得k=1．
∴Sn=2n-1，
∴a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n-1）-（2n-1-1）=2n-1．
∴，
∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）∵==2n+1-n-2，
由2n+1-n-2＞2010，得n≥10．
∴使TN＞2010成立的n最小值是10．