Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+a+1，函数，称方程f（x）=x的根为函数f（x）的不动点，
（1）若f（x）在区间[0，3]上有两个不动点，求实数a的取值范围；
（2）记区间D=[1，a]（a＞1），函数f（x）在D上的值域为集合A，函数g（x）在D上的值域为集合B，已知A⊆B，求a的取值范围．

Answer

（1）由题意，有x2-（a+2）x+a+1=x在[0，3]上有2个不同根．移项得x2-（a+3）x+a+1=0，利用二次方程根的分布即可求得实数a的取值范围．
（2）根据条件可得，下面对字母a进行分类讨论，结合函数的单调性求出集合A，再利用两个集合的关系建立关于a的不等式，即可得出a 的取值范围．
【解析】
（1）由题意，有x2-（a+2）x+a+1=x在[0，3]上有2个不同根．
移项得x2-（a+3）x+a+1=0
∴
解得：
（2）易知
①当时，f（x）在[1，a]上单调递减 A=[f（a），f（1）]=[-a+1，0]⊆B
∴解得：．

②当a＞2时，f（x）在上递减，在上递增．f（a）=-a+1＜0=f（1）．
∴
∴
解得2＜a≤4
综上，a 的取值范围为