Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=-a_n-1-2n+1（n≥2且n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）根据a1=3，an=-an-1-2n+1（n≥2且n∈N*），对n进行赋值，可求出a2，a3的值；
（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；
（3）先求出数列{an}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．
【解析】
（1）∵a1=3，an=-an-1-2n+1（n≥2，n∈N*），
∴a2=-a1-4+1=-6，a3=-a2-6+1=1．
（2）∵===-1，
∴数列{an+n}是首项为a1+1=4，公比为-1的等比数列．
∴an+n=4•（-1）n-1，即an=4•（-1）n-1-n，
∴{an}的通项公式为an=4•（-1）n-1-n（n∈N*）．
（3）∵{an}的通项公式为an=4•（-1）n-1-n（n∈N*），
所以Sn=ak=[4•（-1）k-1-k]=[4•（-1）k-1-
=4×-
=2[1-（-1）n]-（n2+n）
=--2（-1）n．