Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=ca_n-1+2ⁿ（n≥2，c是大于0的常数），且a₃=13．
（1）求c的值；   
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer

（1）利用a1=1，an=can-1+2n，代入计算，根据a3=13，可求c的值；   
（2）利用叠加法，可求{an}的通项公式．
【解析】
（1）∵a1=1，an=can-1+2n，
∴a2=ca1+4=c+4，
∴a3=ca2+8=c2+4c+8
∵a3=13，
∴c2+4c+8=13
∴c2+4c-5=0
∵c＞0，∴c=1；
（2）由（1）知an=an-1+2n，
∴an-an-1=2n，
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+22+23+…+2n=-1+=2n+1-3．