Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，S_n=，n∈N^*．
（1）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与1的大小．

Answer

（1）当n≥2时，由an+1=3Sn+1可得an=3Sn-1+1，两式相减，可得数列{an}是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列的通项；
（2）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．
【解析】
（1）由已知易得：a2=4，a3=16   …（2分）
当n≥2时，由an+1=3Sn+1可得an=3Sn-1+1，两式相减得：an+1=4an，
又由于a1=1，a2=4，
所以数列{an}是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以其通项公式为：an=4n-1（n∈N*）…（6分）
（2）由（1）可知==…（8分）
则Tn=（）+（）+…+（）=1-＜1…（12分）