Question

设M是弧度为的∠AOB的角平分线上的一点，且OM=1，过M任作一直线与∠AOB的两边分别交OA、OB于点E，F，记∠OEM=x．
（1）若=1时，试问x的值为多少？
（2）求的取值范围．

Answer

（1）当=1时，即M为EF的中点，又M是∠AOB的角平分线上的一点，利用几何性质即可求出x的值；
（2）在三角形OEM中，利用正弦定理列出关系式，表示出|EM|，同理表示出|FM|，代入所求式子中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质化简求出范围．
【解析】
（1）当=1时，即M为EF的中点，又M是∠AOB的角平分线上的一点，
则由几何性质易知x=；
（2）在三角形OEM中由正弦定理可知：=，得|EM|=，x∈（0，），
同理在三角形OFM中由正弦定理可知：|FM|=，x∈（0，），
从而+=sinx+cosx=2sin（x+），
∵x∈（0，），∴x+∈（，），即有sin（x+）∈（，1]，
则+∈（，2]．