Question

设函数f（x）=x²+1，g（x）=x，数列{a_n}满足条件：对于n∈N^*，a_n＞0，且a₁=1并有关系式：f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1），又设数列{b_n}满足b_n=（a＞0且a≠1，n∈N^*）．
（1）求证数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）试问数列{}是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；
（3）若a=2，记c_n=，n∈N^*，设数列{c_n}的前n项和为T_n，数列{}的前n项和为R_n，若对任意的n∈N*，不等式λnT_n+恒成立，试求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由已知，f（an+1）-f（an）=2an+1，g（an+1）=an+1，得an+1=2an+1，即得an+1+1=2（an+1），故数列{an+1}是以2为公比的等比数列，首项a1+1=2，通项公式可求．
（2）由bn=，得=，所以，故==（常数），所以数列数列{}是以=为首项，为公差的等差数列．
（3）分别利用公式法和错位相消法求得Rn，Tn，不等式λnTn+即为＜，即（1-λ）n2+（1-λ）n-6＜0恒成立．也即：λ＞，n∈N*恒成立，求出f（n）=的最大值，λ大于最大值即可．
【解析】
（1）证明：因为f（x）=x2+1，g（x）=x，所以f（an+1）-f（an）=2an+1，
g（an+1）=an+1，由f（an+1）-f（an）=g（an+1），得an+1=2an+1，
即得an+1+1=2（an+1），且a1+1=2，
故数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得an+1+1=2×2n-1=2n，…（4分）
因此数列{an}的通项为：an=2n-1，…（3分）
（2）数列{}是等差数列，且公差为loga2，证明如下：
由bn=，得=，所以，
故==（常数），
所以数列数列{}是以=为首项，为公差的等差数列…（6分）
（3）由a=2及（1）与（2）可知cn=，n∈N*，，
所以Rn=，
Tn=
故有Tn=
两式相减，Tn==-=，
即Tn==2-，n∈N*…（10分）
所以不等式不等式λnTn+，即为＜

即（1-λ）n2+（1-λ）n-6＜0恒成立．也即：λ＞，n∈N*恒成立…（12分）
令f（n）=，．
则f（n）==1-=1-=1-，
由n+6≥7，得单调递增且大于0，∴f（n）单调递增，当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1，∴实数λ的取值范围是[1，+∞）…（14分）