Question

设数列{b_n}的n项和为S_n，且b_n=1-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：T_n＜．

Answer

（1）由题设条件知b1=．bn=1-2Sn，bn-bn-1=-2（Sn-Sn-1）=-2bn． =，由此可求出数列{bn}的通项公式．
（2）数列{an}为等差数列，公差d=（a7-a5）=3，可得an=3n-1．从而cn=an•bn=（3n-1）•，是一个等差数列与一个等比数列的乘积，所以利用错位相减的方法求出和．由此能证明数列{cn}的前n项和Tn＜．
【解析】
（1）由bn=1-2Sn，令n=1，则b1=1-2S1，又S1=b1
所以b1=…（2分）
当n≥2时，由bn=2-2Sn，可得bn-bn-1=-2（Sn-Sn-1）=-2bn
即 =…（4分）
所以{bn}是以b1=为首项，为公比的等比数列，
于是bn=…（6分）
（2）数列{an}为等差数列，公差d=（a7-a5）=3，可得an=3n-1…（7分）
从而cn=an•bn=（3n-1）•，
∴Tn=2•+5•+8•+…+（3n-1）•，
Tn=2•+5•+…+（3n-4）•+（3n-1）•
∴Tn=2•+3•+3•+…+3•--（3n-1）•=…（11分）
∴Tn=-＜．…（12分）