Question

（第一、二层次学校的学生做）
对于函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0），如果方程f（x）=x有相异两根x₁，x₂．
（1）若x₁＜1＜x₂，且f（x）的图象关于直线x=m对称．求证：m；
（2）若0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，求证：4a+2b＜1；
（3）α、β为区间[x₁，x₂]上的两个不同的点，求证：2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．

Answer

（1）根据题意，x1、x2是方程g（x）=f（x）-x=0的两个实数根，由x1＜1＜x2可得g（1）＜0，证出x1x2＜x1+x2-1．由此结合x=m满足m=（--），将其化简成关于x1、x2的式子即可证出m；
（2）由方程g（x）=0，结合根与系数的关系算出x1x2=-＞0，故x1、x2同号．结合题意0＜x1＜2且|x1-x2|=2，证出x2=x1+2＞2，从而得到2∈（x1，x2），由g（2）＜0，即可证出4a+2b＜1；
（3）由前面结论得x1+x2=，x1x2=．设α＜β，将2（α-x1）（β-x2）展开化简，进行配凑得2（α-x1）（β-x2）＞2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2，结合2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2=，可得＜0，结合a＞0即可得到原不等式成立．
【解析】
（1）设g（x）=ax2+（b-1）x+1，且a＞0
∵x1＜1＜x2，∴（x1-1）（x2-1）＜0，即x1x2＜x1+x2-1，
于是x=m即x=-，也就是x=（--）
∴m=（--）=（x1+x2）-x1x2＞（x1+x2）-[（x1+x2）-1]=
即不等式m成立；
（2）由方程g（x）=ax2+（b-1）x+1=0，可得x1x2=-＞0，故x1、x2同号
由0＜x1＜2且|x1-x2|=2，得x2-x1=2
∴x2=x1+2＞2，
由此可得2∈（x1，x2），得g（2）＜0，
所以4a+2b-1＜0，可得4a+2b＜1；
（3）由前面的结论，得x1+x2=，x1x2=
α、β为区间[x1，x2]上的两个不同的点，不妨设α＜β
0＞2（α-x1）（β-x2）
∵2（α-x1）（β-x2）=2αβ-2（βx1+αx2）+2x1x2
=2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2+（x1-x2）（α-β）＞2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2
且2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2=
∴0＞，
结合a＞0，可得2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．