Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意m＞0，n＞0，都有f（m﹒n）=f（m）+f（n）-2，且当x＞1时，f（x）＞2，设f（x）在[，10]上的最大值为P，最小值为Q，则P+Q=    ．

Answer

令n=1证出f（1）=2，从而得到f（m）+f（）=4，由此根据函数单调性的定义，结合当x＞1时f（x）＞2证出f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数．从而得到f（x）在[，10]上的最大、最小值分别为f（）和f（10），由此结合f（m）+f（）=4即可得到P+Q的值．
【解析】
令n=1，得f（m﹒1）=f（m）+f（1）-2
∴f（m）=f（m）+f（1）-2，可得f（1）=2
令n=，得f（1）=f（m•）=f（m）+f（）-2=2，
∴f（m）+f（）=4，…（*）
可得f（）=4-f（m）
当0＜x1＜x2时，
∴f（）=f（x2•）=f（x2）+f（）-2＞2
∵f（）=4-f（x1）
∴代入上式，可得f（x2）+（4-f（x1））-2＞2，得f（x2）-f（x1）＞0
因此f（x1）＜f（x2），可得f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴f（x）在[，10]上的最大值为P=f（），最小值为Q=f（10）
由（*）得f（）+f（10）=4，可得P+Q=4