Question

设不等式x²+|x|-2≤0的解集为M．
（1）求集合M；
（2）若命题“∀x∈M，ax³-3x+1≥0”为真，求实数a的值．

Answer

（1）解不等式，求出不等式的解集．
（2）利用全称命题为真命题，求出实数a的范围．
【解析】
（1）原不等式等价为（|x|-1）（|x|+2）≤0，即|x|-1≤0，解的-1＜x＜1，所以M=（-1，1）．
（2）因为∀x∈M，所以-1＜x＜1，
若x=0，则1≥0恒成立，
若0＜x≤1，则，，
则设，
由f'（x）＞0，解得0，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得，此时函数单调递减，
所以当x=时，函数取得极大值，同时也是最大值为，所以此时a≥4．
若-1≤x＜0，则，，设，
当-1≤x＜0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数单调递增，
所以此时当x=-1时，函数取得最小值为，所以此时a≤4．
所以a=4．