Question

已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．
（1）若，在[]（[]⊆D）上的最大值为，试求不等式|ax+1|＜a的解集．
（2）若对于定义域中任意的x₁，x₂，存在正数ε，使|x₁-1|＜且|x₂-1|＜，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜ε．

Answer

（1）由函数的单调性得到函数的最大值，进而得到a的值，解出不等式即可；
（2）不妨设x1＜x2，令g（x）=f（x）+x，由已知得到函数g（x）的单调性，进而得到，又由函数f（x）的单调性，得到ɛ，即得证．
【解析】
（1）由于f′（x）＜0，则函数f（x）在上单调递减，
故=，解得a=
则原不等式为，解之得-5＜x＜-3
故原不等式的解集为（-5，-3）；
（2）不妨设x1＜x2，令g（x）=f（x）+x
由于f′（x）＞-1，故g′（x）=f′（x）+1＞0，则函数g（x）为其定义域上的增函数，
即，亦即，
则
又由函数f（x）在D上递减，则
故
∵=+=ɛ
∴