Question

已知直线（t为参数），与椭圆x²+4y²=16交于A、B两点．
（1）若A，B的中点为P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一个三等分点，求直线l的直角坐标方程．

Answer

（1）设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为P（2，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．
（2）根据P（2，1）是弦AB的一个三等分点，得到|AP|=|PB|，从而得出|t1|=2|t2|，⇒t1=-2t2，再利用（1）中得到的方程结合韦达定理解得a的值，从而得出直线l的直角坐标方程．
【解析】
（1）直线代入椭圆方程，
整理得（4a2+1）t2-4（2a-1）t-8=0
设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=，t1t2=，
∵A，B的中点为P（2，1），∴t1+t2=0
解之得a=，∴t1t2=-4，∵|AP|==|t1|，|BP|=|t2|，
∴|AB|=（|t1|+|t1|）=×=2，
（2）P（2，1）是弦AB的一个三等分点，∴|AP|=|PB|，
∴|t1|=2|t2|，⇒t1=-2t2，
∴t1+t2=-t2=，t1t2=-2t=，
∴t=，∴=，解得a=，
∴直线l的直角坐标方程y-1=（x-2）．