Question

设函数f（x）=alnx+（x-1）²，（a∈R）．
（1）若a=-4，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[，2]上存在单调递减区间，试求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）的极值点．

Answer

（1）把a=-4代入，先求定义域，在求导数，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解函数的单调区间，即可得到函数的最小值．
（2）先求导数，由函数f（x）在区间[，2]上单调递减，转化成f′（x）≤0在[，2]上恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．
（3）对参数a分类讨论，求导函数，由f′（x）＞0，可得函数f（x）的单调增区间；由f′（x）＜0，可得函数的单调减区间，从而可求函数的极值；．
【解析】
由于函数f（x）=alnx+（x-1）2，（a∈R）．
则=
（1）由于a=-4，则
令f′（x）＞0，则x＞2，
故函数f（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增
故f（x）的最小值为f（2）=1-4ln2
（2）由于函数f（x）在[，2]上存在单调递减区间，
则2x2-2x+a≤0亦即a≤-2x2+2x在[]上恒成立
故y=-2x2+2x在[]上递减，且最小值为
故实数a的取值范围是：
（3）当△=22-4×2×a≤0，即时，恒大于等于0，
故此时函数无极值．
当0时，令，则0＜或，
故此时函数在处取得极大值，在处取得极小值．
当a≤0时，令，则，
故此时函数无极大值，在处取得极小值．
综上，当时，函数无极值；
当0时，函数在处取得极大值，在处取得极小值；
当a≤0时，函数无极大值，在处取得极小值．