Question

已知四棱锥P-ABCD底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD，AD=4，AB=2，E，F分别是线段AB和BC的中点．
（1）证明：DF⊥平面PAF
（2）在线段AP上找一点G，使得EG∥平面PFD．

Answer

（1）证明AF⊥DF，利用PA丄平面ABCD，可得PA⊥DF，利用线面垂直的判定定理，即可得出结论；
（2）过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且AH=AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=AP，从而平面GEH∥平面PFD，即可得出结论．
（1）证明：连接AF，则，
∵AD=4
∴AF2+DF2=AD2
∴AF⊥DF…（3分）
∵PA丄平面ABCD，
∴PA⊥DF，
∵PA∩AF=A
∴DF⊥平面PAF…（6分）
（2）【解析】
过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且AH=AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=AP，
∴平面GEH∥平面PFD．…（10分）
∵EG⊂平面GEH，∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=AP的点G为所求．…（12分）