Question

若f（x）=2（log₂x）²+alog₂x^-2+b，在x=时，取得最小值1，
（1）求a和b的值．
（2）求x∈[，8]上的值域．

Answer

（1）将函数进行化简，利用在x=时，取得最小值1，得到结论．
（2）利用换元法将函数转换为一元二次函数，利用二次函数的性质求值域．
【解析】
（1）函数的定义域为（0，+∞），
因为f（x）=2（log2x）2+alog2x-2+b=2（log2x）2-2alog2x+b，
设t=log2x，则函数等价为，
因为当x=时，取得最小值1，此时，
所以，解得a=-2，b=3．…（6分）
（2）因为a=-2，b=3．，所以g（t）=2（t+1）2+1，二次函数的对称轴为t=-1，…（8分）
因为x∈[，8]，所以-2≤t≤3…（10分）
所以1≤y≤33．
即函数的值域为[1，33]…（12分）