Question

如图，已知正方体AC₁的棱长为1，求
（1）B₁B与平面角A₁BD所成角的余弦值
（2）二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer

（1）由平行线和平面所成的角相等把B1B与平面角A1BD所成角可转化为求A1A与平面A1BD所成角，证出平面A1BD⊥平面A1AO，∴A1A在平面A1BD上的射影落在A1O上，从而找到线面角，解直角三角形的结论；
（2）由（1）可得二面角的平面角，解三角形利用余弦定理求解．
【解析】
如图，

（1）∵B1B∥A1A，
∴B1B与平面角A1BD所成角可转化为求A1A与平面A1BD所成角，设为θ，
∵BD⊥AC且BD⊥A1A，∴BD⊥平面A1AO，
又∵BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1AO，∴A1A在平面A1BD上的射影落在A1O上，
则θ=∠AA1O，∴所求角的余弦值为cosθ===；
（2）BD⊥A1O，C1O⊥BD，∴∠A1OC1为二面角A1-BD-C的平面角，
在△A1OC1中，由余弦定理可得cos∠A1O C1=．