Question

已知：抛物线y²=4x的焦点为F，定点P（3，1），
（1）M为抛物线y²=4x上一动点，求|MP|+|MF|的最小值．
（2）过点P作一条斜率等于2的直线交抛物线于A、B两点，求△AOB的面积．

Answer

（1）根据抛物线的定义，结合平面几何知识可得当M的纵坐标为1时，PM所在直线与准线垂直，此时|MP|+|MF|取得最小值为4．
（2）由题意，直线AB方程为y=2x-5，与y2=4x消去x得：4x2-24x+25=0．再用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式，算出|AB|=；利用点到直线的距离公式算出点O到直线AB的距离，即可求出△AOB的面积．
解（1）由抛物线的定义，得MF长等于点M到抛物线y2=4x的准线x=-1的距离，
设点P到直线x=-1的距离为h，
∴|MP|+|MF|≥h，
又∵h=xP-（-1）=3+1=4，
∴|MP|+|MF|的最小值为4．
（2）由题意，得直线AB的方程为y-1=2（x-3），即y=2x-5，
代入y2=4x得：4x2-24x+25=0
设交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x1+x2=6，x1x2=6.25
可得|AB|=|x1-x2|=•
又∵点O到直线AB的距离d=
∴△AOB的面积S△AOB=|AB|d=××=．