Question

如图：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2AD=2，点E、F分别为C₁D₁、A₁B的中点：
（1）求证：EF∥平面BB₁C₁C
（2）求二面角B₁-A₁B-E的大小．

Answer

以D为原坐标，棱DA、DC、DD1，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
（1）利用向量的运算可得=+，于是EF在平面BB1C1C内或EF∥平面BCC1B1，而EF⊄平面BB1C1C，可得EF∥平面BB1C1C．
（2）分别求出两个平面的法向量，再求出其夹角即可得出二面角的大小．
【解析】
以D为原坐标，棱DA、DC、DD1，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（1，0，2），B1（1，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），B（1，2，0），C（0，2，0），
（1）∵E，F分别为C1D1、A1B的中点，∴E（0，1，2），F（1，1，1），
=（1，0，-1），=（1，0，-2），=（0，0，2），
∴=+，
∴EF在平面BB1C1C内或EF∥平面BCC1B1，
∵EF⊄平面BB1C1C，∴EF∥平面BB1C1C．
（2）由（1）得=（-1，1，0），
=（0，2，-2），
设=（x，y，z）是平面A1BE的一个法向量，
则，∴，∴，
取x=1，得平面A1BE的一个法向量为=（1，1，1），
又DA⊥平面A1B1B，∴=（1，0，0）是平面A1B1B的一个法向量，
∵cos〈，＞=，且二面角B1-A1B-E为锐二面角，
∴二面角B1-A1B-E的大小为arccos．