Question

已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值．
（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，
①当|MN|=时，求直线l的方程．
②线段MN上有一点Q，满足，求点Q的轨迹方程．

Answer

（I）根据经过两点的直线的斜率公式，结合题意建立关于点P（x，y）坐标的关系式，化简整理即可得到所求动点P的轨迹方程C；
（II）由（I）求出的轨迹方程与直线y=kx+1消去y，得到关于x的一元二次方程．
①解所得的一元二次方程，得到x1、x2关于k的式子，根据弦长公式列方程解出k=±1，从而得到直线l的方程；
②由线段的中点坐标公式，算出Q坐标关于x1、x2和y1、y2的形式，代入直线方程并结合进行化简整理，可得x2+2y2-2y=0．再由直线l与曲线C交于M、N两点，可得△＞0，得k≠0从而得到x的取值范围，即可给出点Q的轨迹方程．
【解析】
（Ⅰ）设点P（x，y），则根据题意，有
，整理得．由于，
所以求得的曲线C的方程为．
（Ⅱ）设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由．
①解得x1=0，x2=．
由，解得：k=±1．
∴直线l的方程x-y+1=0或x+y-1=0；
②设点Q的坐标为（x，y），
∵，
∴点Q为线段MN的中点，可得，
∴，
消去k，得方程：x2+2y2-2y=0．
因曲线C的方程为，故直线不过点，即
又∵直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，
∴△=（-4k）2＞0，即k≠0，
因此，，
综上，所求点Q的轨迹方程为．