Question

如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB的平分线DC交AE于点F，交AB于D点．
（I）求∠ADF的度数；
（II）当AB=AC时，求证：∠ACE∽△BCA，并求相似比的值．

Answer

（I）确定∠DAE=90°，即可求∠ADF的度数；
（II）利用∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，可得△ACE∽△ABC，从而可求相似比的值．
（I）【解析】
∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC
又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB      …（3分）
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD 
又因为BE为圆O的直径，
∴∠DAE=90°
∴ …．（6分）
（II）证明：∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC  …．…（8分）
∴，
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，…（10分）
∴在Rt△ABE中，…．（12分）