Question

二次函数f（x），又的图象与x轴有且仅有一个公共点，且f′（x）=1-2x．
（1）求f（x）的表达式．
（2）若直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，求k的值．

Answer

（1）由题意设f（x）=ax2+bx+c，求出f′（x）后结合题意求出a、b，再代入化简，由题意和二次函数的性质令△=0求出c的值，代入解析式求出f（x）；
（2）先求出f（x）=x-x2图象与x轴交点坐标，再画出图象，并求出y=kx和y=f（x）的图象的交点的横坐标，结合题意和定积分知识列出方程，求出k的值．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
∵f′（x）=1-2x，∴a=-1，b=1，
∴=的图象与x轴有且仅有一个公共点，
∴△=1+4（c-）=0，解得c=0，
则f（x）=x-x2…．
（2）由（1）得f（x）=x-x2图象与x轴交点是（0，0）、（1，0），
如图：直线y=kx和y=f（x）的图象的交点为A，
由得，x=1-k，
∵直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，
∴dx=，
即×（）=，
，解得，
故k的值是．