Question

某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质：
①输入1时，输出结果是；
②输入整数n（n≥2）时，输出结果f（n）是将前一结果f（n-1）先乘以3n-5，再除以3n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）试由（1）推测f（n）（其中n∈N*）的表达式，并给出证明．

Answer

（1）直接写出f（n）与f（n-1）的关系式，然后通过n=2，3，4求出函数值．
（2）由（1）推测f（n）（其中n∈N*）的表达式，利用数学归纳法的证明步骤证明即可．
【解析】
（1）由题设条件知f（1）=，f（n）=f（n-1），
∴；；．…（3分）
（2）猜想：f（n）=（其中n∈N*）…（5分）
以下用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，，
所以此时猜想成立．                …（6分）
（2）假设n=k（k∈N*）时，成立
那么n=k+1时，…（9分）
所以n=k+1时，猜想成立．
由（1）（2）知，猜想：f（n）=（其中n∈N*）成立．
…（12分）