Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，过双曲线左支上一点M作直线l与双曲线的渐近线l₁，l₂分别交于A，B两点．
（1）求渐近线l₁，l₂的方程；
（2）若，且，求椭圆的方程．

Answer

（1）利用椭圆离心率，结合a，b，c的关系，可求a，b的比值，即可求得渐近线方程；
（2）设M（x，y），A（x1，3x1），B（x2，-3x2），利用向量的坐标表示得到点M的坐标与A，B坐标的关系式，再将M的坐标代入椭圆方程结合题中向量的数量积条件即可得出a，b的值，从而求得椭圆的方程．
【解析】
（1）∵=，得，∴渐近线l1，l2的方程为y=±3x；
（2）设M（x，y），A（x1，3x1），B（x2，-3x2），
=（x-x1，y-3x1），=（x-x2，y+3x2），
∴y-3x1=3y+9x2
∴y=（-3x2-x1），∵，
∴4b2=-12x1x2，即b2=-3x1x2，
∵=8，
∴x1x2+3x1（-3x2）=8，x1x2=-1，
∴b2=3，a2=27，
∴椭圆的方程为；．