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已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正...

已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当△AOB面积取得最大值时,求直线l的方程.
(Ⅰ)先设出椭圆标准方程,根据题意可知b=c,根据准线方程求得c和a的关系,进而求得a,b和c,则椭圆方程可得. (Ⅱ)设出直线l的方程和A,B的坐标,进而把直线方程与椭圆方程联立,消去y,根据判别式大于0求得k的范围,根据韦达定理求得x1+x2,x1x2的表达式,表示出|AB|,求得原点到直线的距离,进而表示出三角形的面积,两边平方根据一元二次方程,建立关于S的不等式,求得S的最大值,进而求得k,则直线方程可得. 【解析】 设椭圆方程为 (Ⅰ)由已知得 ∴所求椭圆方程为. (Ⅱ)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2) 由,消去y得关于x的方程: (1+2k2)x2+8kx+6=0 由直线l与椭圆相交于A、B两点, ∴△>0⇒64k2-24(1+2k2)>0 解得 又由韦达定理得 ∴= 原点O到直线l的距离 ∵. 对两边平方整理得:4S2k4+4(S2-4)k2+S2+24=0(*) ∵S≠0, 整理得: 又S>0,∴ 从而S△AOB的最大值为, 此时代入方程(*)得4k4-28k2+49=0∴ 所以,所求直线方程为:.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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