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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(4,1),直线l:y=...

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为manfen5.com 满分网,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)若直线l不过点M,求证:直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.
(I)设出椭圆的标准方程,根据椭圆的离心率为,得出a2=4b2,再根据M(4,1)在椭圆上,解方程组得b2=5,a2=20,从而得出椭圆的方程; (II)因为直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B,可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程,有两个不相等的实数根,从而△>0,解得-5<m<5; (III)设出A(x1,y1),B(x2,y2),对(II)的方程利用根与系数的关系得:.再计算出直线MA的斜率k1=,MB的斜率为k2=,将式子K1+K2通分化简,最后可得其分子为0,从而得出k1+k2=0,得直线MA,MB的倾斜角互补,命题得证. 【解析】 (Ⅰ)设椭圆的方程为, ∵椭圆的离心率为, ∴a2=4b2, 又∵M(4,1), ∴,解得b2=5,a2=20,故椭圆方程为.…(4分) (Ⅱ)将y=x+m代入并整理得 5x2+8mx+4m2-20=0, ∵直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B ∴△=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-5<m<5.…(7分) (Ⅲ)设直线MA,MB的斜率分别为k1和k2,只要证明k1+k2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 根据(Ⅱ)中的方程,利用根与系数的关系得:. 上式的分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4) =2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1) = 所以k1+k2=0,得直线MA,MB的倾斜角互补 ∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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