Question

设D是△ABC的BC边上一点，把△ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C′在平面ABD上的射影H恰好在AB上．
（1）求证：直线C′D与平面ABD和平面AHC′所成的两个角之和不可能超过90°；
（2）若∠BAC=90°，二面角C′-AD-H为60°，求∠BAD的正切值．


Answer

（1）利用条件求出直线C′D与平面ABD和平面AHC′所成的两个角，然后判断两个角的和的范围．
（2）利用二面角C′-AD-H为60°，求出∠BAD的与二面角的关系，然后求正切值．
【解析】
（1）证明：连结DH，∵C′H⊥平面ABD，
∴∠C′DH为C′D与平面ABD所成的角且平面C′HA⊥平面ABD，
过D作DE⊥AB，垂足为E，则DE⊥平面C′HA．
故∠DC′E为C′D与平面C′HA所成的角
∵sinDC′E=≤=sinDC′H
∴∠DC′E≤∠DC′H，
∴∠DC′E+∠C′DE≤∠DC′H+∠C′DE=90°
（2）作HG⊥AD，垂足为G，连结C′G，
则C′G⊥AD，故∠C′GH是二面角C′-AD-H的平面角
即∠C′GH=60°，计算得tan∠BAD=．