已知椭圆（a＞b＞0）的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且与直线l：x-...

已知椭圆

（a＞b＞0）的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且与直线l：x-y-1=0交于A，B两点．
（1）若右顶点到直线l的距离等于 manfen5.com 满分网

，求椭圆方程．
（2）设△AF₁F₂的重心为M，△BF₁F₂的重心为N，若原点O在以MN为直径的圆内，求a²的取值范围．

（1）由椭圆右顶点到直线l的距离等于列式求出a的值，结合已知和b2=a2-c2求出b2，则椭圆的方程可求；（2）因为A，B在直线l：x-y-1=0上，所以设A（x1，x1-1），B（x2，x2-1），把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，由重心坐标公式求出M和N的坐标，利用原点O在以MN为直径的圆内得到，代入根与系数的关系后可求得a2的取值范围．【解析】（1）由椭圆右顶点到直线l的距离等于，得，解得a=2，由c=1，所以b2=a2-c2=3．所以椭圆的方程为；（2）由题意设A（x1，x1-1），B（x2，x2-1），由，得（2a2-1）x2-2a2x+2a2-a4=0 ∵直线AB：x-y-1=0过焦点F2（1，0）， ∴△AF1F2的重心M（）， △BF1F2的重心N（），因为原点O在以MN为直径的圆内，所以= =，解得，．

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考点分析：

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已知点A（-1，0），B（1，0），M是平面上的一动点，过M作直线l：x=4的垂线，垂足为N，且|MN|=2|MB|．
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如图，直角坐标系xoy中，有Rt△ABC，∠C=90°，D在边BC上，BD=3DC，双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
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