Question

已知幂函数f（x）=x^a经过点（2，），
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）的定义域．
（3）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．

Answer

（1）利用幂函数的概念，将点（2，）的坐标代入幂函数的解析式，求得α的值，即可求得f（x）．
（2）利用幂函数的性质写出其定义域；
（3）此函数是一个增函数，由定义法证明要先任取x1，x2∈[0，+∞）且x1＜x2，再两函数值作差，判断差的符号，再由定义得出结论．
【解析】
（1）∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），
∴=2α，
∴α=．
∴f（x）=x，
（2）f（x）=x的定义域是[0，+∞）；
（3）此函数在定义域上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[0，+∞）且x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=，
由于x1，x2∈[0，+∞）且x1＜x2，∴x1-x2＜0，＞0，可得 ＜0，
即有f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
故函数在定义域是增函数．