Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=2
（1）判断AB与A₁C₁的位置关系；
（2）求AB与A₁C₁的夹角
（3）求AD与B₁C的夹角．

Answer

（1）根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得AB与A1C1的位置关系是异面；
（2）根据AB∥A1B1得∠B1A1C1就是异面直线AB与A1C1的所成角，Rt△B1A1C1中，由A1B1=B1C1=2得
△B1A1C1是等腰直角三角形，由此即可得到异面直线AB与A1C1的所成角；
（3）由AD∥B1C1，得到∠CB1C1就是异面直线AD与B1C的所成角．Rt△B1CC1中，结合题中数据算出tan∠CB1C1==，即可得到异面直线AB与A1C1的所成角为60°．
【解析】
（1）∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1
而A1C1与A1B1是相交直线
∴AB与A1C1的位置关系是异面；
（2）由（1）得∠B1A1C1就是异面直线AB与A1C1的所成角
∵Rt△B1A1C1中，A1B1=B1C1=2，
∴∠B1A1C1=45°，即异面直线AB与A1C1的所成角为45°；
（3）∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD∥B1C1，
∴∠CB1C1就是异面直线AD与B1C的所成角
∵Rt△B1CC1中，B1C1=2，CC1=AA1=2
∴tan∠CB1C1==，
可得∠CB1C1=60°，即异面直线AB与A1C1的所成角为60°．