Question

在R上可导的函数f（x）=x³+ax²+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（ ）
A．（-，）
B．（-，）
C．（，1）
D．（，1）

Answer

求出原函数的导函数，由当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值列出关于a，b的不等式组，作出可行域，然后利用的几何意义求其取值范围．
【解析】
由f（x）=x3+ax2+2bx+c，得f′（x）=x2+ax+2b．
因为当x∈（0，1）时f（x）取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值．
则f′（x）在（0，1）内有一零点d，在（1，2）内有一零点e，即
，
可行域如图，C（-3，1），

而的几何意义是可行域内动点（a，b）与定点M（1，2）连线斜率的取值范围，
由图可知，当直线过MC时斜率最小为
当直线过MA时斜率最大为
故选C．