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高中数学试题
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数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…...
数列{a
n
}的前n项和记为S
n
,已知a
1
=1,a
n+1
=
S
n
(n=1,2,3,…).证明:
(Ⅰ)数列{
}是等比数列;
(Ⅱ)S
n+1
=4a
n
.
(Ⅰ)要证数列{}是等比数列;需证(n=1,2,3,…)成立,另外应说明; (Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{}是首项为1,公比为2的等比数列,可得Sn的通项公式,代入an+1=Sn(n=1,2,3,…)可得Sn+1=4an.说明当n=1时,S2=a1+a2=4a1,等式成立. (I)证:由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,), 知a2=S1=3a1,,,∴ 又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3,…),则Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3,), ∴nSn+1=2(n+1)Sn,(n=1,2,3,…), 故数列{}是首项为1,公比为2的等比数列. (II)证明:Sn+1=4an.当n=1时,S2=a1+a2=4a1,等式成立. 由(1)知:,∴Sn=n2n-1 当n≥2时,4an=4(Sn-Sn-1)=2n(2n-n+1)=(n+1)2n=Sn+1,等式成立. 因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an.
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考点分析:
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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