Question

已知向量=（2sinx，0），=（sinx+cosx，sinx-cosx），且f（x）=•
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若f（α）=1，sinβ=，0＜α＜＜β＜π，求cos（2α+β）的值．

Answer

（1）利用数量积的坐标运算与倍角公式可将f（x）转化为f（x）=sin（2x-）+1，从而可求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）由f（α）=1⇒α=+（k∈Z），继而可得α=，利用两角和的余弦即可求得cos（2α+β）的值．
【解析】
（1）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=sin（2x-）+1，
∴f（x）的最小正周期T==π，f（x）min=-+1…6分
（2）由f（α）=1得，sin（2α-）=0，即2α-=kπ，则α=+（k∈Z），
又α∈（0，），则α=…8分
由sinβ=，0＜α＜＜β＜π，得cosβ=-…10分
∴cos（2α+β）=cos（+β）=cosβ-sinβ=--…12分