Question

中国环保部部长在2012年“六•五”世界环境日高层论坛上表示，国家正在加大污水处理的投入，为此四川兰家沟污水处理站拟建一座平面图形为矩形且面积为2000m²的四级污水处理池，长，宽都不能超过60米，如果四周围池壁建造单价为400元/m，中间三道隔墙建造单价为300元/m，池底建造单价为100元/m²，池壁的厚度忽略不计．设污水池的长为x米，总造价为f（x）元．
（1）求f（x）的解析式，并求出其定义域；
（2）求f（x）的最小值，并求出此时污水池的长和宽．

Answer

（1）由题意污水池长为x米，则宽为米，表示出总造价f（x）
（2）对得到的函数f（x）选用合适的方法求最小值．
【解析】
（1）由题意污水池长为x米，则宽为米，则f（x）=400（2x+2-）+300×+2000×100
=800（x+）+200000
由得
所以函数定义域为{x|}
（2）f′（x）=800（1-），当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
所以当x=60时，f（x）min=304666
所以当长为60米，宽为米时，f（x）的最小值为304666