Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E，F分别为PC，BD的中点．求证：
（I）EF∥平面PAD；
（Ⅱ）PA⊥平面PDC．

Answer

（I）在△CPA中，易证EF为其中位线，从而可证EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由侧面PAD⊥底面ABCD，易证CD⊥侧面PAD，从而有CD⊥PA；由PA=PD=AD，可证PA2+PD2=AD2，从而PA⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可证得结论．
证明：（I）连接AC，∵底面ABCD是正方形，F为BD的中点，F∈AC，且F也是AC的中点，…2分

在△CPA中，∵E为PC的中点，
∴EF∥PA，…4分
∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD；…6分
（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥侧面PAD，…8分
∵PA⊂侧面PAD，
∴CD⊥PA，…9分
又∵PA=PD=AD，
∴PA2+PD2=AD2，所以PA⊥PD，…11分
∵CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC…12分