Question

已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（I）由于定义在R上的函数f（x）= 是奇函数，可得f（0）=0，由此求得a的值．
（Ⅱ）由上可得 f（x）==，利用函数的单调性的定义证明函数f（x）是R上的减函数．
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k） 恒成立，等价于3t2-2t-k＞0恒成立，
故有判别式△=4+12k＜0，由此求得k的范围．
【解析】
（I）由于定义在R上的函数f（x）= 是奇函数，故有f（0）=0，即 =0，解得 a=1．
（Ⅱ）由上可得 f（x）==，设x1＜x2，可得f（x1）-f（x2）=（ ）-（）
=-=．
由题设可得-＞0，（1+）（1+）＞0，故f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）是R上的减函数．
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k） 恒成立，
等价于 t2-2t＞-2t2+k恒成立，等价于3t2-2t-k＞0恒成立，故有判别式△=4+12k＜0，
解得k＜-，故k的范围为（-∞，-）．