Question

小正方形按照图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{a_n}有以下结论，

（1）a₅=15   
（2）{a_n}是一个等差数列； 
（3）数列{a_n}是一个等比数列；   
（4）数列{a_n}的递推公式a_n+1=a_n+n+1（n∈N^*）
其中正确的是（ ）
A．（1）（2）（4）
B．（1）（3）（4）
C．（1）（2）
D．（1）（4）

Answer

根据题意，结合等差数列的求和公式算出an=1+2+3+…+n=，由此再对各个选项加以判断，可得（1）和（4）是真命题，而（2）（3）是假命题．
【解析】
根据题意，可得
a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…
发现规律：an=1+2+3+…+n=，
由此可得
a5==15，故（1）正确；{an}不是一个等差数列，故（2）不正确；
数列{an}不是一个等比数列，可得（3）不正确；
而an+1-an=-=[（n+2）-n]=n+1
故an+1=an+n+1成立，故（4）正确
综上所述，正确命题为（1）（4）
故选：D