Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，且公差d＞0，它的第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N^*均有成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₁的值；
（3）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n；并求满足S_n＜168的最大正整数n．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式将第二项，第五项，第十四项用{an}的首项与公差表示，再据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列及等比数列的通项公式求出数列{an}与{bn}的通项公式．
（2）再写一式，两式相减，求出数列的通项，即可求数列的和．
（3）利用错位相减法求和，利用Sn＜168，建立不等式，从而可求满足条件Sn＜168最大的正整数．
【解析】
（1）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴an=1+2（n-1）=2n-1
∴b2=a2=3，b3=a5=9，
故数列{bn}的公比是3，
∴bn=3•3n-2=3n-1
（2）由=an+1
得当n≥2时，=an
两式相减得=an+1-an=2，
∴cn=2bn=2×3n-1（n≥2）
n=1时，c1=3
∴c1+c2+…+c2011=3+2×3+2×32+…+2×32011=32011
（3）Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=1+3×3+5×32+…+（2n-1）×3n-1 ①
∴3Sn=1×3+3×32+5×33+…+（2n-3）×3n-1+（2n-1）3n ①
①-②得：-2Sn=-1+2（1+3+32+33+…+3n-1）-（2n-1）×3n
∴Sn=1+（n-1）3n
∵Sn是递增数列，且知S3=55，S4=244
∴满足Sn＜168的最大正整数n=3．