Question

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上，
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c的值；
（2）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
（3）若b_n=+1，请求出一个满足条件的指数函数g（x），使得对于任意的正整数n恒有成立，并加以证明．（其中为连加号，如：）

Answer

（1）由“点（an，Sn）在直线y=2x-3n上．”可得Sn=2an-3n，由通项和前n项和关系可得an+1=2an+3，变形为an+1+3=2（an+3）符合等比数列的定义，从而求出c的值．
（2）由（1）根据等比数列通项公式求解有an+3=b•2n-1=3•2n整理可得an=3•2n-3，先假设存在s、p、r∈N*且s＜p＜r使as，ap，ar成等差数列根据等差中项有2ap=as+ar，再用通项公式展开整理有2p-s+1=1+2r-s∵因为s、p、r∈N*且s＜p＜r所以2p-s+1为偶数，1+2r-s为奇数，奇数与偶数不会相等的．所以不存在．
（3）根据题意先求出 的表达式，然后令g（x）=2x即可得出结论成立．
【解析】
（1）由题意知Sn=2an-3n
∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-3（n+1）-2an+3n∴an+1=2an+3（2分）
∴an+1+3=2（an+3）
∴，又a1=S1=2a1-3a1=3
∴a1+3=6（4分）
∴数列{an+3}成以6为首项以2为公比的等比数列，
∴c=3．
（2）由（1）得an+3=b•2n-1=3•2n
∴an=3•2n-3
设存在s、p、r∈N*且s＜p＜r使as，ap，ar成等差数列
∴2ap=as+ar∴2（3•2p-3）=3•2s-3+3•2r-3∴2p+1=2s+2r（9分）
即2p-s+1=1+2r-s（*）
∵s、p、r∈N*且s＜p＜r
∴2p-s+1为偶数，1+2r-s为奇数
∴（*）为矛盾等式，不成立故这样的三项不存在（12分）
（3）bn=+1=2n，∴==（ -）（11分）
令g（k）=2k，则有 =-，
∴=（ ）
=（ ）+（ ）+…+（ ）=＜（13分）
即指数函数g（x）=2x，满足条件．