Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1或x=3处取得极值，试求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，5]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）要求一个恒成立问题，f（x）＜c2恒成立，即c2-c＞x3-6x2+9x，只须c2-c＞（x3-6x2+9x）max．设g（x）=x3-6x2+9x，下面利用导数求其最大值即可．
【解析】
（1）∵函数f（x）在x=1或x=3处取得极值
∴f'（1）=0，f'（3）=0…（1分）
又∵f'（x）=3x2-2ax+b
∴…（2分）
∴a=6，b=9…（3分）
经检验，当a=6，b=9时，函数f（x）在x=1或x=3处取得极值    …（4分）
∴a=6，b=9…（5分）
（2）由（1）得所求的函数解析式为f（x）=x3-6x2+9x+c；
∵当x∈[-2，5]时，f（x）＜c2恒成立，
∴x3-6x2+9x+c＜c2，对x∈[-2，5]恒成立，
∴c2-c＞x3-6x2+9x，∴c2-c＞（x3-6x2+9x）max
设g（x）=x3-6x2+9x，
g′（x）=3x2-12x+9=3（x-3）（x-1），
列表：

x （-2，1） 1 （1，3） 3 （3，5）
g′（x） + - +
g（x） ↑ 极大值4 ↓ 极小值0 ↑

且g（-2）=-50，g（5）=20，
故函数g（x）的g（x）最大值=f（5）=20，
∴c2-c＞20，解得c＜-4或c＞5．
故c的取值范围是：c＜-4或c＞5．…（13分）