Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer

（1）设出椭圆方程，利用椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）设P为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m2＜3k2+1，|AM|=||AN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．
【解析】
（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程为：…（1分）
又椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为
∴即…（2分）
又a2=b2+c2∴…（3分）
∴a2=3…（4分）
∴椭圆的方程为：…（5分）
（2）设P（xP，yP）、M（xM，yM）、N（xN，yN），P为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）2-12（3k2+1）（m2-1）＞0，∴m2＜3k2+1，①
由韦达定理，可得P（）
∵|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴
∴2m=3k2+1②
把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2
∵2m=3k2+1＞1，∴m＞
∴＜m＜2．