Question

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）函数g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在上恰有两解，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用导数的运算法则可得f′（x），由题意可得，解出即可；
（2）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其单调区间；
（3）利用导数的运算法则可得g′（x），列出表格，要满足条件，则g（x）max＞0，，g（2）≤0即可．
【解析】
（1）∵f（x）=alnx-bx2，（x＞0），∴，
∵函数f（x）=alnx-bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0，
∴即，
∴，
∴a=4，b=1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=4lnx-x2
（2）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴由（1）有，
令，解得：
令，解得：…（7分）
∴函数f（x）的单调增区间是；单调减区间是．
（3）由（1）可知：g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x2+m-ln4（x＞4），
∴=-，
令g′（x）=0，解得x=．
∴当x变化时，如下表：
可得函数的大致图象：
由图象可知：要使方程g（x）=0在上恰有两解，则，
即，解得2＜m≤4-2ln2，
∴实数m的取值范围是（2，4-2ln2]．