Question

过点M（-2，0）做直线l交双曲线x²-y²=1于A、B两点，若O为坐标原点，是否存在∠AOB=90°的直线l，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

Answer

当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，和双曲线方程联立求出两个交点的坐标，经验证不合题意，当直线l的斜率存在时，和双曲线方程联立后利用根与系数关系点得到两个交点的横坐标的和与积，由∠AOB=90°得到x1x2+y1y2=0，进一步得到（1-k2）x2-4k2x-4k2-1=0，把两根的和与积代入后整理得到矛盾的式子，从而得到结论．
【解析】
当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，
把x=-2代入双曲线x2-y2=1得，A（-2，），B（-2，-）．
此时不满足∠AOB=90°，
当过M（-2，0）的直线l的斜率存在时，设斜率为k（k≠0），
则直线l的方程为y=k（x+2），代入x2-y2=1得，
（1-k2）x2-4k2x-4k2-1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，若∠AOB=90°，
则x1x2+y1y2=
==0．
即．
整理得，9k2+1=0．此式显然不成立．
所以，不存在使∠AOB=90°的直线l．